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連立一次方程式を解く

01行の見方・列の見方・行列の形 02三次元の行の見方と列の見方 03特異行列と正則行列 04Ax の二つの計算法問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

01ガウスの消去法と後退代入 02消去行列 03置換行列と逆行列問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

01行列の積の五つの見方 02逆行列と特異性 03ガウス・ジョルダン法による逆行列問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

01積の逆行列と転置の規則 02A = LU 分解 03ガウスの消去法の計算量 ⅓n³ 04置換行列：P⁻¹ = Pᵀ 問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/6

01置換行列と PA = LU 分解 02RᵀR はなぜ必ず対称になるのか 03ベクトル空間と部分空間 04行列の列空間問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

ベクトル空間と部分空間

01ベクトル空間と部分空間 02行列の列空間 03行列の零空間問題セット0/10 問題セット20/10

01階数・ピボット変数・自由変数 02零空間の特殊解 03簡約行階段形から零空間を読み取る問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/3

01Ax = b の可解性 02特解と零空間 03階数と Ax = b の4つの場合問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/8

01一次独立と零空間 02基底と次元 03次元定理問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

01階数と四つの基本部分空間 02一回の行簡約で四つの基底 03ベクトル空間としての行列問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

01部分空間の次元公式 02線形代数としての微分方程式 03階数一の行列と外積 04四つの基本部分空間問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/1

01差分作用素としての接続行列 02グラフの接続行列 03釣り合いの方程式 AᵀCAx = f 問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/1

直交性と最小二乗法

01直交する部分空間 02直交補空間としての零空間 03正規方程式問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

01直線への射影：P = aaᵀ/aᵀa 02部分空間への射影 03射影と最小二乗法問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/6

01相補的な射影 P と I − P 02最小二乗法と正規方程式 03射影としての最小二乗法 04AᵀA の可逆性問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

01直交行列 02正規直交基底への射影 03グラム・シュミットの直交化法 04グラム・シュミット法による QR 分解問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/3

行列式

01行列式の三つの公理 02三つの公理から導く行列式の性質 03消去法で行列式を求める 04積の法則と転置の性質問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/2

01置換による行列式の公式 02余因子展開 03三重対角行列の周期的な行列式問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/3

01余因子による逆行列の公式 02クラメルの公式 03体積としての行列式問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

固有値と時間発展

01固有値と固有ベクトル 02固有値と固有ベクトルの求め方 03複素数の固有値と欠陥行列問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/2

01対角化：A = SΛS⁻¹ 02行列のべき乗と安定性の定理 03欠陥行列と重複度 04固有値とフィボナッチ数列問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/3

01固有値で du/dt = Au を解く 02複素平面で見る固有値の安定性 03行列の指数関数 e^(At)04コンパニオン行列問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

01マルコフ行列が必ず固有値 1 をもつ理由 02固有値で見るマルコフ連鎖の定常状態 03マルコフ行列と定常状態 04正規直交基底とフーリエ係数問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/7

対称行列と特異値分解

01スペクトル定理 02対称行列の固有値が実数である理由 03シルベスターの慣性法則 04正定値性の判定問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

01共役転置 02フーリエ行列の逆行列 03高速フーリエ変換（FFT）の分解問題セット0/10 問題セット20/10

01正定値行列 02ピボットによる正定値性の判定 03ヘッセ行列と正定値性 04主軸定理と楕円体問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/6

01正定値行列の閉包性 02相似な行列と変わらない固有値 03固有値だけでは相似を分類できない理由 04ジョルダン標準形問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

01特異値分解 02特異値分解を AᵀA に帰着させる 03特異値分解の計算：2つの例題 04特異値分解と四つの基本部分空間問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/3

線形変換とその応用

01線形変換の定義 02基底、座標、線形写像 03線形写像が行列になるしくみ問題セット0/10 問題セット20/10

01基底変換としての画像圧縮 02基底の選び方：JPEG、フーリエ、ウェーブレット 03基底変換と画像圧縮 04基底変換と対角化問題セット0/10 問題セット20/10

01逆行列と四つの基本部分空間 02片側逆行列と射影 03擬似逆行列 04特異値分解による擬似逆行列問題セット0/10 問題セット20/10

部分空間の次元公式

行列の集まりはどのようにしてベクトル空間や部分空間をつくり、次元公式 dim(S) + dim(U) = dim(S ∩ U) + dim(S + U) は部分空間どうしの関係をどう決めているのでしょうか。

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まとめノート

1. $3 \times 3$ 行列の空間とその次元
  $\dim M = 9$ を与える 9 つの標準基底の行列を書き、自由に選べる成分を数えて、対称行列で $\dim S = 6$ 、上三角行列で $\dim U = 6$ 、対角行列で $\dim D = 3$ を導きましょう。
2. 2 つの部分空間の和集合と和
  $S \cup U$ は加法について閉じていないのに対し、和 $S + U = \{s + u\}$ は部分空間であることを書き、対称行列と上三角行列について $S + U = M$ を確かめましょう。
3. 公式 $\dim S + \dim U = \dim(S \cap U) + \dim(S + U)$
  任意の 2 つの部分空間についてこの公式を述べ、 $S \cap U$ が対角行列全体であることを示し、この例で $6 + 6 = 3 + 9$ の計算を確かめましょう。
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