特異値分解

どんな行列も、直交行列 $U$ と $V$、対角行列 $\Sigma$ を使って $A = U\Sigma V^T$ と分解できることを書き、それぞれの因子に何が入っているかを書き留めましょう。

対称で正定値な行列の分解を、両側に同じ1つの直交行列を使って書き、それを一般形の特別な場合 $V = U = Q$ として書き留めましょう。

$i = 1, \ldots, r$ に対して $Av_i = \sigma_i u_i$ を書き、$v_i$ が行空間で正規直交、$u_i$ が列空間で正規直交であることを書き添えましょう。

個々の式を行列の形に並べ、$V^{-1} = V^T$ を掛けて $A = U\Sigma V^T$ を導き、零空間の $v$ が対角に 0 を置くことに触れましょう。