基底変換と対角化

$T$ そのものには基底が要らないのに、その行列には基底が要ることを述べ、行列 $A$ と $B$ が同じ $T$ を 2 つの基底で表したものなら $B = M^{-1}AM$ が成り立ち、$M$ が基底変換行列であることを書き留めましょう。

$x = c_1v_1 + \cdots + c_8v_8$ と展開し、線形性を使って $T(x) = c_1T(v_1) + \cdots + c_8T(v_8)$ を導き、各 $T(v_j)$ を基底で表して、その係数を第 $j$ 列としましょう。

$T(v_i) = \lambda_i v_i$ から出発して、最初の 2 列が $(\lambda_1,0,\ldots,0)^{T}$ と $(0,\lambda_2,0,\ldots,0)^{T}$ になることを計算し、固有値が並ぶ対角行列全体を書きましょう。

大きな画素の行列の固有ベクトルは計算するのに費用がかかりすぎること、そしてその代わりに、手ごろな折り合いとしてウェーブレット基底とフーリエ基底が使われることを書き留めましょう。