特異値分解による擬似逆行列

$A = U\Sigma V^T$ から出発して $\Sigma^+$ をつくりましょう。$\sigma_1$ から $\sigma_r$ までを逆数にし、残りはゼロのままにして、形を $m$ 行 $n$ 列から $n$ 行 $m$ 列へ転置します。

両方の順に掛け、対角線に並ぶ $r$ 個の 1 を、大きさ $m$ 行 $m$ 列と $n$ 行 $n$ 列のそれぞれで書き留め、各積がどの射影になるかを書きましょう。

$A^+ = V\Sigma^+U^T$ を $A = U\Sigma V^T$ から $U^{-1} = U^T$ と $V^{-1} = V^T$ を使って導き、完成した公式を書きましょう。

$\Sigma^+$ のゼロのブロックに成分を置いても積は変わらず、行列が大きくなるだけなので、$A^+$ はそれらの積を実現するいちばん小さい行列であることを書き留めましょう。