転置は行列を対角線で裏返し、積の転置は順番を逆にします。では、なぜ積 RᵀR はどんな行列 R についても対称になるのでしょうか。
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転置、逆順の規則、対称行列
転置の定義
(AT)ij=Aji(A^{T})_{ij} = A_{ji}(AT)ij=Aji と、サイズが m×nm \times nm×n から n×mn \times mn×m に変わることを書き、列が (1,2,4)(1,2,4)(1,2,4) と (3,3,1)(3,3,1)(3,3,1) の 3×23 \times 23×2 行列を転置しましょう。
逆順の規則 (AB)T=BTAT(AB)^{T} = B^{T}A^{T}(AB)T=BTAT
積の転置についての規則を書き、逆行列でも同じように順番が逆になることと対比して書き留めましょう。
対称行列と積 RTRR^{T}RRTR
定義 AT=AA^{T} = AAT=A を 3×33 \times 33×3 の例を一つ添えて書き、証明として (RTR)T=RT(RT)T=RTR(R^{T}R)^{T} = R^{T}(R^{T})^{T} = R^{T}R(RTR)T=RT(RT)T=RTR の式変形を最後までたどりましょう。