特異値分解と四つの基本部分空間

行空間には $v_1, \ldots, v_r$、零空間には $v_{r+1}, \ldots, v_n$、列空間には $u_1, \ldots, u_r$、左零空間には $u_{r+1}, \ldots, u_m$ を、それぞれの次元とともに書き並べましょう。

これらの基底があわせもつ2つの性質、すなわち正規直交性と、異なる番号どうしの絡み合いがない $Av_i = \sigma_i u_i$ を書き留め、グラム・シュミットの直交化法が与えるのは前者だけであることに触れましょう。

最初の $r$ 本の $v$ が最初の $r$ 本の $u$ と 0 でない $\sigma_i$ を通して組になり、残りの $v$ と $u$ はゼロの特異値に対応することを書きましょう。