複素平面で見る固有値の安定性

$\lambda = -3 + 6i$ をとり、$e^{6it} = \cos 6t + i\sin 6t$ と展開して $|e^{6it}| = 1$ を導き、$|e^{(-3+6i)t}|$ を $e^{-3t}$ に帰着させましょう。

3つの判定を並べましょう。すべての固有値で $\mathrm{Re}(\lambda) < 0$ なら $u \to 0$、固有値の一つが 0 で残りが負なら定常状態、どれか一つでも $\mathrm{Re}(\lambda) > 0$ なら発散です。

$\lambda_1 + \lambda_2 = a + d$ と $\lambda_1\lambda_2 = \det A$ を使って両方の条件を述べ、対角成分が $-2$ と $1$ の対角行列を例として書き留めましょう。そのトレース $-1$ は条件を満たしますが、$\det = -2$ は条件を満たしません。

複素平面をかき、$\mathrm{Re}(\lambda) < 0$ を $e^{At} \to 0$ となる領域として、$|\lambda| < 1$ を $A^k \to 0$ となる領域として、対比させて書き込みましょう。