消去法で行列式を求める

三角行列の規則を書き、その証明を再現しましょう。消去法で対角線の外の成分を消し、各対角成分をその行からくくり出し、$\det(I) = 1$ を使います。

上三角形まで消去してピボットを掛け合わせ、行を1回入れ替えるごとに因子 $-1$ を1つ掛けるというアルゴリズムを書き、$2 \times 2$ の場合を $ad - bc$ までたどりましょう。

この同値関係を書き、両方向をピボットの言葉で書きましょう。特異行列では $U$ に零行が残り、可逆な行列では 0 でないピボットがすべてそろいます。