正規直交基底とフーリエ係数

$v = x_1q_1 + \cdots + x_nq_n$ と展開し、$q_1$ との内積をとって $q_1^Tq_1 = 1$ と $q_1^Tq_j = 0$ を使い、$x_1$ を読み取りましょう。

同じ連立方程式を、正規直交なベクトルを列にもつ $Qx = v$ の形に書き、正方行列 $Q$ では $Q^{-1} = Q^T$ となることを述べて、第一成分を $q_1^T v$ と照らし合わせましょう。

関数の内積 $\int_0^{2\pi} f(x)g(x)\,dx$ を定義し、基底 $\{1, \cos(x), \sin(x), \ldots\}$ の確認として $\int_0^{2\pi} \sin(x)\cos(x)\,dx = 0$ を計算しましょう。

級数に $\cos(x)$ を掛けて $0$ から $2\pi$ まで積分し、$\int_0^{2\pi}\cos^2(x)\,dx = \pi$ を使って $a_1 = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos(x)\,dx$ を導きましょう。