行列の積の逆行列ではなぜ順序が逆になり、転置と逆行列はなぜどちらの順序でとってもよいのでしょうか。
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積の逆行列と積の転置
規則 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
可逆な AAA と BBB についてこの規則を述べ、ABABAB に B−1A−1B^{-1}A^{-1}B−1A−1 を掛ける場合と逆の順序で掛ける場合のどちらでも III につぶれることを確かめましょう。
等式 (AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}(AT)−1=(A−1)T
AA−1=IAA^{-1} = IAA−1=I の両辺を転置して (A−1)TAT=I(A^{-1})^{T}A^{T} = I(A−1)TAT=I を書き、一つの行列について転置と逆行列は入れ替えられるという結論を書き留めましょう。
両方の操作に共通する順序の反転
逆行列の規則と並べて (AB)T=BTAT(AB)^{T} = B^{T}A^{T}(AB)T=BTAT を書き、どちらの操作でも積の因子の順序が逆になることを書き留めましょう。