一度のガウスの消去法で得られる正のピボットの個数が、正の固有値の個数と必ず等しくなり、高くつく根の計算が安いピボットの数え上げに置き換わるのはなぜでしょうか。
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正のピボットと正の固有値は個数が一致する
対称行列についてこの定理を書き、正のピボットの個数と正の固有値の個数を対応させましょう。ピボットは固有値ではないものの、どちらの積も行列式に等しいことも書き留めましょう。
ピボットの計算と の根の計算のコスト
行列で比べましょう。消去法なら 50 個のピボットが速く安定に求まる一方、固有多項式の根を取り出すのは計算として筋が悪いことを書きます。
とずらして固有値の位置を突き止める
数え方を書き留めましょう。 のピボットから 7 より大きい固有値の個数がわかること、そしてずらしを繰り返すと固有値の範囲が絞り込まれることを書きます。