直線への射影：P = aaᵀ/aᵀa

$p = \hat{x}a$ とおき、垂直の条件 $a^T(b - \hat{x}a) = 0$ を誤差 $e = b - p$ に課して、それを解いて $\hat{x} = \frac{a^Tb}{a^Ta}$ を求めましょう。

射影を $p = Pb$ と書き直し、$aa^T$ は行列で $a^Ta$ はスカラーであることを書き留めて、対称性 $P^T = P$ と冪等性 $P^2 = P$ を書きましょう。

$b$ を2倍すると射影も2倍になり、$a$ を2倍しても射影は変わらないことを書き留め、後者について、余分な因子が公式の中で打ち消し合う様子をたどりましょう。