ストークスの法則：落下する球の終端速度

油の中のビー玉の自由物体図を描き、$mg - 6\pi\eta R v = m\,dv/dt$ を書き、単位が $\mathrm{s}^{-1}$ の $\gamma = 6\pi\eta R/m$ をおいて、変数分離で $v(t) = (g/\gamma)(1 - e^{-\gamma t})$ にたどり着きましょう。

$v(t)$ の $t \to \infty$ の極限をとり、$m = \frac{4}{3}\pi\rho_m R^3$ を代入して $v_{\infty} = 2\rho_m R^2 g/(9\eta)$ を導き、$R^2$ に比例して大きくなることを書き留めましょう。

終端速度の結果を逆に解いて $\eta = mg/(6\pi R v_{ter})$ とし、単位を $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ まで追いかけましょう。オリーブ油の例の値 $R = 5.00\times10^{-3}$ m と $v_{\infty} = 5.24$ m/s を使います。

$y(0) = 0$ の静止状態から $v(t')$ を積分して $y(t) = (g/\gamma)t + (g/\gamma^2)(e^{-\gamma t} - 1)$ を求め、時間がたつと傾き $g/\gamma$ の直線になることを書き留めましょう。