落ちるバケツをまっすぐ狙え

$y_1(t) = h_1 - \frac{1}{2}gt^2$ をボールの $x_2(t)$、$y_2(t)$ と並べて書き、$y_1(t_a) = y_2(t_a)$ と $x_2(t_a) = s$ を課して、$\frac{1}{2}gt_a^2$ の項が打ち消し合うことを示しましょう。

簡単になった2つの条件を割り算して $\theta_0 = \tan^{-1}((h_1 - h_2)/s)$ を導き、$v_0$ が含まれないことを書き添えて、2辺が $s$ と $h_1 - h_2$ の三角形を描きましょう。

2つの条件を2乗し、$\sin^2\theta_0 + \cos^2\theta_0 = 1$ を使って足し合わせて $t_a = \frac{1}{v_0}(s^2 + (h_1 - h_2)^2)^{1/2}$ を求め、続けて $y_1(t_a) = h_1 - g t_a^2/2$ を計算しましょう。

$\vec{\mathbf{A}} = -g\hat{\mathbf{j}}$ の座標系ではバケツが静止し、ボールが速さ $v_0$ で一直線に進むので、同じ角度と、距離を速さで割った同じ $t_a$ が得られることを書き留めましょう。