質量が等しいときの直角の関係：内積を使って

運動量保存の式を $m_1$ で割って $\vec{v}_{1,i} = \vec{v}_{1,f} + \vec{v}_{2,f}$ とし、自分自身との内積をとって $v_{1,i}^2 = v_{1,f}^2 + v_{2,f}^2$ と比べ、$\vec{v}_{1,f}\cdot\vec{v}_{2,f} = 0$ を導きましょう。

$m_2 = m_1/3$ の衝突を解きましょう。2つの成分の式を解いて $v_{2,f} = \frac{3\sqrt{2}}{2}v_{1,i}$ と $v_{2,i} = \frac{3}{2}v_{1,i}$ を求め、$K_i$ と $K_f$ を比べると、どちらも $\frac{7}{8}m_1v_{1,i}^2$ になります。

標的が静止している場合の一定の座標系の相対速度 $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1\vec{v}_{1,i}}{m_1+m_2}$ を書き、粒子が正反対の向きから近づいて正反対の向きに離れていき、その向きのあいだに $\Theta_{cm}$ がある図をかきましょう。