こぼれる砂と吹き込む穀物：2台の貨車

両方の時刻で系の運動量を書き、質量の変化と速度の変化による寄与が打ち消し合うことを示し、$m_c(t) = m_c + m_s - bt$ を力積と運動量の関係に代入しましょう。

変数分離をして静止状態から積分し $v_c(t) = \frac{F}{b}\ln\frac{m_c+m_s}{m_c+m_s-bt}$ を求め、$t = m_s/b$ で値を求めて $v_c = \frac{F}{b}\ln\frac{m_c+m_s}{m_c}$ を得ましょう。

$\Delta m_A = \Delta m_g$ を使って貨車 $A$ の運動量の差を展開し、極限で二次の積 $\Delta m_A\Delta\vec{v}_A$ を落として、$0 = m_A\frac{dv_A}{dt} + \frac{dm_A}{dt}(v_A - u)$ にたどり着きましょう。

$m_A(t) = m_{A,0} + bt$ として変数分離で積分し $v_A(t) = \frac{btu}{m_{A,0}+bt}$ を得て、それを $(m_{A,0}+bt)v_A = btu$ と書き直しましょう。