固定軸のまわりの回転：L_z = Iω となる理由

$\vec{r}_{S,j}$ を平行な部分と垂直な部分に分解して $\vec{r}_{S,j} \times \vec{p}_j$ を計算し、どの項が $(L_{S,j})_z = \Delta m_j (r_{S,j}^\perp)^2\omega_z$ を与えるかを見きわめましょう。

要素ごとの結果を足し合わせて（積分して）$I_S = \int dm\, r_{dm}^2$ を導き、次に $L_{S,z}$ を微分して、$\tau_{S,z} = I_S\alpha_z$ が $z$ 成分をとった $\vec{\tau}_S^{\,\text{ext}} = d\vec{L}_S/dt$ にほかならないことを示しましょう。

質量 $M$ の輪の、直径の両端にある要素を対にして、対を足し合わせて $\vec{L}_S = MR^2\omega_z\hat{k} = I_S\omega_z\hat{k}$ を導き、ベクトル全体が軸に沿うのはどんなときかを書き添えましょう。