ボートと消防ホース：質量も運動量も流れ込む

水平方向の外力がないとして $\frac{dv}{v-u} = -\frac{dm_b}{m_b}$ と変数分離し、静止した $m_0$ から積分して $v = u\left(1 - \frac{m_0}{m_b}\right)$ を得ましょう。

結果をこの形に変形し、受け止めた水をすべて系の中に入れたとき、噴流とボートのあいだの相互作用の力のどれが内力に数えられるかを書き留めましょう。

噴流について kg/s 単位で $\alpha = \lambda u$ と書き、長さ $u\Delta t$ のうち差を詰めた割合 $(u-v)/u$ をとって、$\frac{dm_w}{dt} = \alpha\left(1 - \frac{v}{u}\right)$ にたどり着きましょう。

$\frac{dm_b}{dt} = \frac{\alpha m_0}{m_b}$ を積分して $m_b(t) = m_0\sqrt{1 + 2\alpha t/m_0}$ を求め、代入し直して $v(t) = u\left(1 - (1 + 2\alpha t/m_0)^{-1/2}\right)$ を得ましょう。