弦の長さと小角近似から導く v = rω

$\Delta\theta$ だけ離れた $\vec{r}(t)$ と $\vec{r}(t+\Delta t)$ を描き、2本の先端を結ぶ弦の長さを書いて、小さな $\Delta\theta$ ではそれが弧の長さ $r\,\Delta\theta$ になることを示しましょう。

$\sin(\Delta\theta/2)$ のべき級数を書き、$\Delta\theta/2 = \pi/30 \cong 0.1$ で最初の2項を比べましょう。3乗の項は約 $1.9 \times 10^{-4}$ で、500倍以上小さくなります。

弧の長さの結果を極限に持ち込んで $v = r|d\theta/dt| = r\omega$ を導き、$\Delta\vec{r}$ が $\vec{r}$ に垂直になり $\vec{v}$ が $+\hat{\theta}$ を向くという、極限での向きの議論を書き留めましょう。