平行軸の定理の証明

$S$、質量中心、要素 $dm$ を結ぶ三角形をかき、ベクトルの関係を書いて、それを2本の軸に垂直な成分と平行な成分に分けましょう。

垂直な成分の関係とそれ自身との内積をとり、$I_S = \int dm\,(r_{S,\perp,dm})^2$ に代入して、得られる3つの積分、つまり定数の $d_{S,\text{cm}}^2$ の項、$I_{\text{cm}}$ の項、交差項を記録しましょう。

定数 $\vec{r}_{S,\perp,\text{cm}}$ を交差項から外に出し、質量中心の定義から $\int_{\text{body}} dm\,\vec{r}_{\perp,dm}$ を求めて、$I_S = I_{\text{cm}} + m d_{S,\text{cm}}^2$ を組み立てましょう。