球殻定理：重力は中心からはたらく

各面積要素 $dm = \sigma R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ を $\phi \pm \pi$ にある相棒と組にし、和をとると $dF_z = -G m_1 dm \cos\alpha / r_{s1}^2$ だけが残ることを書き留めましょう。

余弦定理を2回使って積分変数を $r_{s,1}$ に変え、$z > R$ について $z-R$ から $z+R$ まで積分して、質点による力にたどり着きましょう。

$z < R$ について、同じ積分を $r_{s,1}$ について $R-z$ から $R+z$ まで行って $F_z = 0$ を導き、薄い球殻を積み重ねて中身の詰まった球に広げましょう。