ロケットの速さ、質量比、そして多段式にする理由

外力を 0 とおき、変数分離をして $m_{r,i}$ から $m_{r,f}$ まで積分し、燃料をすべて燃やしたときの質量比 $R = m_{r,i}/m_{r,d}$ を定義しましょう。

$b = -\frac{dm_r}{dt}$ を積分して $m_r(t) = m_{r,i} - bt$ を求め、代入して $v_{r,x}(t) = v_{r,x,i} + u\ln\frac{m_{r,i}}{m_{r,i}-bt}$ を得ましょう。

$u = 3000$ m/s で両方の場合を計算しましょう。$R = 8.03$ からは $6250$ m/s が得られ、空になった第一段を捨てると、$R_1 = 3.60$、$R_2 = 3.05$ で $u\ln(R_1R_2)$ となり、$7190$ m/s が得られます。

ロケット方程式に $F_{ext,x} = -m_r g$ を代入して積分し $v_{r,x}(t) = u\ln\frac{m_{r,i}}{m_r(t)} - gt$ を求め、燃焼時間によるのは2つめの項だけであることとともに $v_{r,x}(t_f) = u\ln R - gt_f$ を書き留めましょう。