摩擦のある斜面でのばねの最大の縮み

$E_i = mgd\sin\theta$ と、重力の項が負になる $E_f = \frac{1}{2}kx^2 - xmg\sin\theta$ を書き、$x^2 - \frac{2mg\sin\theta}{k}x - \frac{2dmg\sin\theta}{k} = 0$ に整理しましょう。

解の公式を当てはめて正の根 $x = \frac{mg}{k}\left(\sin\theta + \sqrt{\sin^2\theta + 2(kd/mg)\sin\theta}\right)$ を残し、動画に出てくるくくり出した行で $1$ と印刷されている箇所には、本来 $\sin^2\theta$ が入ることを書き添えましょう。

$W_{\rm nc} = -\mu_k mg\cos\theta\,(d + x)$ を、進んだ距離 $d + x$ にわたる仕事として書き、エネルギーの式がこの置き換えのもとで摩擦のないときの式を再現することを示して、同じ式を失われたエネルギーとして示しましょう。