回転する極座標の単位ベクトル r̂ と θ̂ から、円運動の速度が純粋に接線方向であることはどのようにわかるのでしょうか？
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回転する極座標の単位ベクトルと接線方向の速度
r^\hat{r}r^ と θ^\hat{\theta}θ^ の直交座標での分解
円周上で角 θ(t)\theta(t)θ(t) の位置にある点 PPP を描き、r⃗(t)=r r^(t)\vec{r}(t) = r\,\hat{r}(t)r(t)=rr^(t) を書いて、r^=cosθ i^+sinθ j^\hat{r} = \cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}r^=cosθi^+sinθj^ と θ^=−sinθ i^+cosθ j^\hat{\theta} = -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j}θ^=−sinθi^+cosθj^ を書き留めましょう。
2つの単位ベクトルの時間微分
連鎖律を使って2つの分解式をそれぞれ微分し、dr^dt=dθdt θ^\frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{d\theta}{dt}\,\hat{\theta}dtdr^=dtdθθ^ と dθ^dt=−dθdt r^\frac{d\hat{\theta}}{dt} = -\frac{d\theta}{dt}\,\hat{r}dtdθ^=−dtdθr^ を導きましょう。
位置の微分から得る速度 v⃗=rdθdtθ^\vec{v} = r\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}v=rdtdθθ^
半径を一定として r⃗(t)=r r^(t)\vec{r}(t) = r\,\hat{r}(t)r(t)=rr^(t) を微分し、dr^/dtd\hat{r}/dtdr^/dt を代入して、接線成分 vθ=r dθ/dtv_\theta = r\,d\theta/dtvθ=rdθ/dt と角速度 ω≡∣dθ/dt∣\omega \equiv |d\theta/dt|ω≡∣dθ/dt∣ を定義しましょう。