円運動の張力：2つの質量からロープへ

ブロックごとに別々の力の図をかき、$T_2 - T_1 = -m_1 d\omega^2$ と $-T_2 = -m_2 2d\omega^2$ を書いて、$T_2 = 2m_2 d\omega^2$ と $T_1 = d\omega^2(m_1 + 2m_2)$ を求めましょう。

半径 $r$ にある質量 $\Delta m = (m/L)\Delta r$ の一片をとり、$T(r+\Delta r) - T(r) = -(m/L)\Delta r\, r\omega^2$ を書いて、極限 $\frac{dT}{dr} = -(m/L)\omega^2 r$ に移りましょう。

自由端の条件 $T(L) = 0$ のもとで微分方程式を積分し、両端を確かめましょう。回転軸での最大値 $m\omega^2 L/2$ と、$r = L$ での 0 です。