τ = Iα を導く：回転のニュートンの第二法則

$\vec{r}_{S,i} = z_i\hat{\mathbf{k}} + r_i\hat{\mathbf{r}}$ と、$\vec{F}_i$ の動径・接線・軸方向の成分を書き、$z_i\hat{\mathbf{k}}$、$F_{r,i}$、$F_{z,i}$ の項が $z$ 方向のトルクを生まないことを示して、反時計回りの $F_{\theta,i}$ が正の $z$ 方向のトルクを与えることを書き留めましょう。

$a_{\theta,i} = r_i\alpha_z$ とともに $F_{\theta,i} = \Delta m_i a_{\theta,i}$ を当てはめ、要素ごとのトルク $\Delta m_i r_i^2\alpha_z$ を足し合わせ、共通の $\alpha_z$ をくくり出して、$I_S = \sum_i \Delta m_i r_i^2$ として $\tau_{S,z} = I_S\alpha_z$ を導きましょう。

$\vec{\tau}_S$ を外部の和と内部の和に分け、$\vec{F}_{j,i} = -\vec{F}_{i,j}$ を使って一つの組を $(\vec{r}_{S,i} - \vec{r}_{S,j})\times\vec{F}_{j,i}$ にまとめ、それが 0 になるための「組を結ぶ直線に沿う」という条件を書きましょう。力が打ち消し合うことだけよりも強い要請です。

$(\tau_S^{\text{ext}})_z = I_S\alpha_z$ を $\vec{F} = m\vec{a}$ と並べて書き、トルクと力、$\alpha_z$ と加速度、$I_S$ と質量を対応させて、両辺の単位がどちらも $\mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2$ になることを確かめましょう。