任意の曲がった経路に沿った線積分としての仕事

分割した経路について和 $\sum_j (\vec{F}_j)_{\text{ave}} \cdot \Delta\vec{r}_j$ をつくり、$|\Delta\vec{r}_j| \to 0$ として $N \to \infty$ の極限をとり、$d\vec{r}$ が軌道の接線方向を向くことを書きましょう。

力が場所によって変わるとき、決まった端点 $\vec{r}_i$ と $\vec{r}_f$ のあいだの値は一般に経路ごとに違うことを書き留めましょう。

$d\vec{r}=dx\,\hat{i}+dy\,\hat{j}+dz\,\hat{k}$ と $d\vec{r}=dr\,\hat{r}+r\,d\theta\,\hat{\theta}+dz\,\hat{k}$ を書き、それぞれと $\vec{F}$ のスカラー積をとって $dW=F_xdx+F_ydy+F_zdz$ と $dW=F_rdr+F_{\theta}r\,d\theta+F_zdz$ を導きましょう。

$\vec{F}=-mg\,\hat{j}$ を放物線の経路に沿って積分してジュール単位の $W=-mg(y_f-y_0)$ を導き、$F_x=-kx$ を積分して $W=-\frac{1}{2}k(x_f^2-x_0^2)$ を導いて、それぞれただ1つの項だけが残ることを書き添えましょう。