座標軸を回転させると、ベクトルそのものは少しも動かないのに、その成分が変わるのはなぜでしょうか。
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座標軸を回転させたときの成分
回転した単位ベクトルを古い基底で書く
i^′\hat{i}'i^′ と j^′\hat{j}'j^′ を回転していない軸に射影して i^′=i^cosθ+j^sinθ\hat{i}' = \hat{i}\cos\theta + \hat{j}\sin\thetai^′=i^cosθ+j^sinθ と j^′=j^cosθ−i^sinθ\hat{j}' = \hat{j}\cos\theta - \hat{i}\sin\thetaj^′=j^cosθ−i^sinθ を求め、逆向きの組も書き留めましょう。
変換則 x′=xcosθ+ysinθx' = x\cos\theta + y\sin\thetax′=xcosθ+ysinθ
単位ベクトルの関係を r⃗=xi^+yj^\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j}r=xi^+yj^ に代入して y′=−xsinθ+ycosθy' = -x\sin\theta + y\cos\thetay′=−xsinθ+ycosθ を導き、続いて x′=rcos(ϕ−θ)x' = r\cos(\phi - \theta)x′=rcos(ϕ−θ) と加法定理を使って同じ結果をもう一度導きましょう。
回転に対する長さの不変性
Ax=5A_x = 5Ax=5、Ay=−3A_y = -3Ay=−3、θ=60∘\theta = 60^\circθ=60∘ として Ax′=(1/2)(5−33)A_{x'} = (1/2)(5 - 3\sqrt{3})Ax′=(1/2)(5−33) と Ay′A_{y'}Ay′ を計算し、どちらの組からも 34\sqrt{34}34 が得られることを確かめましょう。