相対速度の例題：円と台車

$\hat{r}_a$ と $\hat{r}_b$ を直交座標の成分に分解し、引き算して $\vec{r}\,' = 2l\sin\theta\,\hat{i}$ を求め、微分して $\vec{v}\,' = 2\omega l\cos\theta\,\hat{i}$ を得ましょう。

台車の座標系でのボールの速度 $v_0\cos\theta\,\hat{i} + v_0\sin\theta\,\hat{j}$ を書き、それを地上の座標系に換算し、運動量の $x$ 成分の初期値を 0 とおいて $v_{f,\text{cart}}$ を求めましょう。

$\vec{v}_{f,\text{ball}} = \frac{m_1+m_2}{m_1+m_2+m_3}v_0\cos\theta\,\hat{i} + v_0\sin\theta\,\hat{j}$ を書き留め、極限 $m_3 \ll m_1+m_2$ で速さが角度 $\theta$ の $v_0$ に戻ることを確かめましょう。

投げるあいだに系の鉛直方向の運動量が変化することを書き留め、つねに $\theta$ を上回る $\phi = \tan^{-1}\left[\left(\frac{m_1+m_2+m_3}{m_1+m_2}\right)\tan\theta\right]$ を書きましょう。