逆二乗の力、三次元の仕事とエネルギーの関係、仕事率

$\vec{F} = F_r\,\hat{r}$ と $d\vec{r} = dr\,\hat{r} + r\,d\theta\,\hat{\theta}$ の内積をとり、接線方向の項を落として、仕事を $r_i$ から $r_f$ までの $r$ についての1つの積分にしましょう。

$-Gm_s m/r^2$ を積分して $W = Gm_s m(1/r_f - 1/r_i)$ を導き、$q_1q_2/4\pi\varepsilon_0 r^2$ についても同じことをして、内向きの運動、異符号の電荷、同符号の電荷のそれぞれで符号を確かめましょう。

$\int_i^f F_x\,dx = \frac{1}{2}mv_{x,f}^2 - \frac{1}{2}mv_{x,i}^2$ を導き、対応する $y$ と $z$ の式を足して、その和を $\int_i^f \vec{F} \cdot d\vec{r} = K_f - K_i$ と書きましょう。

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$ を使って $P = dW/dt$ をとり、続けて運動エネルギーを微分して、ワット単位の $dK/dt = m\vec{a} \cdot \vec{v} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ を導きましょう。