摩擦係数が距離とともに大きくなるとき、非保存力がする仕事を積分すると、物体が止まる位置はどのように決まるのでしょうか？
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位置に依存する摩擦のもとで止まるばねと物体
μ=bx\mu = bxμ=bx のときの仕事の積分
Wnc=∫0xf−μN dxW_{\rm nc} = \int_0^{x_f} -\mu N\, dxWnc=∫0xf−μNdx を N=mgN = mgN=mg、μ=bx\mu = bxμ=bx として立て、計算して −12bmg xf2-\frac{1}{2}bmg\, x_f^2−21bmgxf2 を導きましょう。
停止位置 xf2=mv02k+bmgx_f^2 = \frac{mv_0^2}{k + bmg}xf2=k+bmgmv02
Ei=12mv02E_i = \frac{1}{2}mv_0^2Ei=21mv02 と Ef=12kxf2E_f = \frac{1}{2}kx_f^2Ef=21kxf2 を書き、Wnc=Ef−EiW_{\rm nc} = E_f - E_iWnc=Ef−Ei とおいて、得られた式を xf2x_f^2xf2 について解きましょう。
失われる力学的エネルギーと次元の確認
xf2x_f^2xf2 を仕事の積分に代入し直して Wnc=−mv022(1+kbmg)−1W_{\rm nc} = -\frac{mv_0^2}{2}\left(1 + \frac{k}{bmg}\right)^{-1}Wnc=−2mv02(1+bmgk)−1 を導き、bbb が長さの逆数の次元をもつので bmgbmgbmg が kkk と同じ次元になることを確かめましょう。