積分と微積分学の基本定理

$dv(t)/dt = a(t)$ と $v(t) + C = \int a(t)\,dt$ を書き、$a(t) = bt^2$ について初期値 $v_0$ から $C$ を決めて $v(t) = v_0 + bt^3/3$ を導きましょう。

$A_{t_1}^{t_2} = a(t_c)(t_2 - t_1)$ を、面積の等しい長方形の図とともに書き、加法性 $A_{t_1}^{t} + A_{t}^{t + \Delta t} = A_{t_1}^{t + \Delta t}$ を使い、極限をとって $dA_{t_1}^{t}/dt = a(t)$ を導きましょう。

和 $S_n = \sum_{j} a(t_{c_j})\Delta t$ をつくり、増分 $\Delta v_j$ を打ち消し合わせて両端だけを残し、$n \to \infty$ とし、$a$ が負になる区間は符号付き面積として寄与することを書き留めましょう。

$x(t_f) - x(t_i) = \int_{t_i}^{t_f} v(t')\,dt'$ を書き、上端を変数にして $x(t) = x(t_i) + \int_{t_i}^{t} v(t')\,dt'$ を導きましょう。