三次のエネルギー図で見る安定なつり合いと不安定なつり合い

$U(x) = -U_1\left(\left(\frac{x}{x_1}\right)^3 - \left(\frac{x}{x_1}\right)^2\right)$ を微分して $F_x = -\frac{dU}{dx} = 0$ とおき、$x^2 = (2x_1/3)x$ を解いて、根 $x = 0$ と $x = 2x_1/3$ を求めましょう。

$x = 0$ で $\frac{d^2U}{dx^2} = \frac{2U_1}{x_1^2} > 0$、$x = 2x_1/3$ で $-\frac{2U_1}{x_1^2} < 0$ となることを計算してそれぞれ安定・不安定と分類し、極大では $U = \frac{4}{27}U_1$ となることを書きましょう。

$0 < E < \frac{4}{27}U_1$ では $E = U(x)$ の2つの根のあいだで振動し、それより大きい $E$ では無限遠へ逃げ、$E < 0$ では禁止された領域があることを書きましょう。

$U(0) = 0$ を使って $E = K(0) = \frac{1}{2}mv_0^2$ とおき、$v_0 = \sqrt{8U_1/27m}$ を求め、単位がメートル毎秒になることを書きましょう。