運動エネルギー：速さの二乗から力 × 距離へ

質量 $m$、速さ $v$ の回転していない物体について定義を書き、速さだけで決まることを書き添え、単位を $1\,\text{J} = 1\,\text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}$ まで追いかけましょう。

2台の車の比較を計算し、比 $\Delta K_B/\Delta K_A = 11/3$ を地上の基準系で、$9$ を車 $A$ の初めの速度で動く基準系で求めましょう。

$\Delta x = v_{x,i}t + \frac{1}{2}a_x t^2$ と $a_x = (v_{x,f} - v_{x,i})/t$ を $a_x \Delta x$ に代入して $\frac{1}{2}v_{x,f}^2 - \frac{1}{2}v_{x,i}^2$ にまとめ、$m$ をかけて $F_x = ma_x$ を使いましょう。

$\sum_j (a_{x,j})_{\text{ave}}\Delta x_j$ を隣り合う項の打ち消し合いで $\frac{1}{2}(v_{x,f}^2 - v_{x,i}^2)$ にまとめ、極限をとって $\int_{x_i}^{x_f} a_x\,dx$ とし、時間についての積分 $\int a_x\,dt = v_{x,f} - v_{x,i}$ と並べて書きましょう。