閉じた経路の定理：保存力はなぜエネルギーを返すのか

閉じた経路を、$A$ から $B$ への経路1と、戻りの経路2に分け、帰りの区間で積分の上端と下端を入れ替え、経路によらないことを使って2つの積分を打ち消しましょう。

運動エネルギーが最高点で 0 になるまで重力が負の仕事をし、下りでは正の仕事をして、物体が最初の運動エネルギーをもって戻ってくる様子をたどりましょう。

このとき重力は保存力の内力になること、地球の運動エネルギーも数えなければならないこと、そして元の高さで全体が完全に回収されることを書き留めましょう。

空気を含めると、失われた運動エネルギーは熱エネルギーとなって回収できなくなり、空気の分子、物体、地球のあいだに不規則な運動エネルギーとして広がることを書き留めましょう。