換算質量と二体系の内部の仕事

$\vec{F}_{2,1} = m_1 d^2\vec{r}_1/dt^2$ と $\vec{F}_{1,2} = m_2 d^2\vec{r}_2/dt^2$ をそれぞれの質量で割って引き算し、$\vec{F}_{2,1} = -\vec{F}_{1,2}$ を当てはめて $\vec{F}_{2,1}(1/m_1 + 1/m_2) = d^2\vec{r}_{2,1}/dt^2$ を導きましょう。

$1/\mu \equiv 1/m_1 + 1/m_2$ を書き、一体の形 $\vec{F}_{2,1} = \mu\, d^2\vec{r}_{2,1}/dt^2$ をニュートン単位で書いて、$m_2 \gg m_1$ の極限で $\mu \to m_1$ となることを確かめましょう。

$\int\vec{F}_{2,1} \cdot d\vec{r}_1$ と $\int\vec{F}_{1,2} \cdot d\vec{r}_2$ を $\int\vec{F}_{2,1} \cdot d\vec{r}_{2,1}$ にまとめ、$\mu\,d^2\vec{r}_{2,1}/dt^2$ を代入して、ちょうど微分になっている量を積分し $\frac{1}{2}\mu(v_B^2 - v_A^2)$ を導きましょう。

符号の反転 $\vec{F}_{1,2} = -\vec{F}_{2,1}$、$\vec{r}_{1,2} = -\vec{r}_{2,1}$、$\vec{v}_{1,2} = -\vec{v}_{2,1}$ を並べ、結果が変わらないことを書き留めて、内力の仕事を相対運動の運動エネルギーの変化として書きましょう。