杭にロープを数回巻きつけるだけで、なぜ片手で何百倍も重い荷物を支えられるのでしょうか。
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ドラムに巻いたロープの摩擦についてのキャプスタン方程式
角 Δθ\Delta\thetaΔθ のロープの一切れのつり合い
一切れにはたらく4つの力をかき、cos(Δθ/2)≅1\cos(\Delta\theta/2) \cong 1cos(Δθ/2)≅1 と sin(Δθ/2)≅Δθ/2\sin(\Delta\theta/2) \cong \Delta\theta/2sin(Δθ/2)≅Δθ/2 を当てはめて、−fs−ΔT=0-f_s - \Delta T = 0−fs−ΔT=0 と N=TΔθN = T\Delta\thetaN=TΔθ を導きましょう。
微分方程式 dTdθ=−μsT\frac{dT}{d\theta} = -\mu_s TdθdT=−μsT
すべり出す寸前の条件 fs=μsNf_s = \mu_s Nfs=μsN を課し、ΔT Δθ\Delta T\,\Delta\thetaΔTΔθ の項を捨て、極限 Δθ→0\Delta\theta \to 0Δθ→0 をとって1階線形微分方程式にたどり着きましょう。
指数関数的な減少 TB=TAe−μsθBAT_B = T_A e^{-\mu_s \theta_{BA}}TB=TAe−μsθBA
変数分離をして、TAT_ATA（θ=0\theta = 0θ=0）から TBT_BTB（θBA\theta_{BA}θBA）まで積分し、何周も巻いたときに張力がどれだけ下がるかを書き留めましょう。