グラフの面積から導く運動学の公式

$v_0 \equiv v(t = 0)$ として、区間 $[0, t]$ での一定の比 $a = (v(t) - v_0)/t$ から出発し、それを変形して速度の一次関数にしましょう。

$[0, t]$ での長方形の面積 $at$ を計算し、それを変化 $\Delta v = v(t) - v_0$ に等しいとおきましょう。

$v(t)$ の下の領域を長方形 $A_1 = v_0t$ と三角形 $A_2 = \frac{1}{2}(v(t) - v_0)t$ に分け、足し合わせて $v_0t + \frac{1}{2}at^2$ とし、その和が $\Delta x$ であることを確かめましょう。

静止状態から $100\,\mathrm{m}$ 進んで $20\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ に達し、そのあと一定の速さで走る車の問題を解き、$t_1 = 10\,\mathrm{s}$、$a = 2.0\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}$、区分ごとの3つのグラフ、そして $v_{ave} = 15\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}$ を求めましょう。