ベクトルとしての角速度と角加速度

右手系の円柱座標を設定し、$\vec{\omega} = \omega_z\hat{k}$ を単位 $\mathrm{rad\,s^{-1}}$ とともに書いて、反時計回りの回転では $+\hat{k}$、時計回りでは $-\hat{k}$ の向きになることを書き留めましょう。

$\frac{d\theta}{dt}\hat{k} \times r\hat{r}$ を計算して $r\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$ を導き、続いて $\theta(t) = At - Bt^3$ を $t_1 = \sqrt{A/3B}$ まで計算して、その前後での $\vec{\omega}$ の符号を求めましょう。

$\vec{\alpha} = \alpha_z\hat{k}$ を単位 $\mathrm{rad\,s^{-2}}$ とともに書き、$d\theta/dt$ と $d^2\theta/dt^2$ の符号の4つの組み合わせを表にして、それぞれに回転の向きと、回転が速くなるか遅くなるかを書き添えましょう。

$\alpha_z(t) = b(1 - t/t_1)$ を静止状態から積分して $\omega_z(t_1) = bt_1/2$ を求め、続いて $\omega_z(t)$ を同じ区間で積分して、掃いた角 $bt_1^2/3$ を求めましょう。