斜面を転がる運動を三通りで：力、エネルギー、トルク

斜面に沿った方向と垂直な方向の力の式、そして $f_sR = I_{\text{cm}}\alpha_z$（$\alpha_z = a_x/R$ とする）を書いて $a_x = \frac{2}{3}g\sin\beta$ を求め、運動学から $v_f = \sqrt{4gh/3}$ を導きましょう。

$f_s = \frac{1}{3}Mg\sin\beta$ を求め、$f_s \le \mu_s Mg\cos\beta$ を課して、すべらずに転がるための静止摩擦係数の最小値を導きましょう。

ここでは静止摩擦が仕事をしないことを述べ、$K_f = \frac{3}{4}Mv_f^2$ を（$\omega = v/R$ を使って）書き、それを $Mgh$ に等しいとおいて $v_f = \sqrt{4gh/3}$ を導きましょう。

固定点 $P$ のまわりの重力と垂直抗力のトルクを計算し、摩擦力のトルクが消えることを確かめ、$L_P = I_{\text{cm}}\omega_z + RMv_x$ を書いて $a_x = \frac{2}{3}g\sin\beta$ を導きましょう。