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基礎とベクトル

01SI単位とそれを定義する定数 02秒とメートルの定義 03プランク定数によるキログラムの再定義 04固定された定数によるSI単位の定義 05ラジアン、ステラジアン、小さな角度 06次元解析：M、L、T 07次元から法則を導く 08フェルミ推定問題セット0/10 問題セット20/10

01ベクトルの和とスカラー倍 02直交座標と円柱座標 03直交座標でのベクトルの成分 04成分で解くベクトルの問題 05座標軸の回転とベクトルの成分 06外積 07外積の公式問題セット0/10 問題セット20/10

運動学

01位置・時間間隔・変位 02瞬間速度と導関数 03二階導関数としての加速度 04グラフの面積から導く運動学の公式 05積分と微積分学の基本定理 06多項式で表される加速度と区分的な加速度問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

01x 軸と y 軸に沿った独立な運動 02放物運動の問題の設定 03飛行時間と最高点の高さ 04時間を消去して放物線を求める 05落ちるバケツをまっすぐ狙え問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/1

01向心加速度と中心力運動 02極座標の単位ベクトルと円運動の速度 03弦の長さと小角近似から導く v = rω 04極座標での動径方向と接線方向の加速度 05等速円運動：周期・振動数と v²/R 06ベクトルとしての角速度と角加速度 07半径が変わる運動：動径方向の速度とコリオリ項問題セット0/10 問題セット20/10

ニュートンの法則と力

01力の定義：質量、加速度、そしてベクトルとしての力 02ニュートンの第一法則：慣性と慣性系 03ニュートンの第二法則と第三法則：運動量の時間変化率としての力問題セット0/10 問題セット20/10

01力の法則とフックの法則：ばねの力を測る 02万有引力と等価原理 03電荷、クーロンの法則、ニュートンの第三法則問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/1

01垂直抗力：それが「重さ」ではない理由 02静止摩擦と動摩擦、そして f = μN の法則 03自由物体図と物理モデルの組み立て 04ロープの張力：質量の無視できるロープと質量のあるロープ 05つり下げたロープの張力：二つの解き方問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

ニュートンの法則の応用

01階段の問題：摩擦、飛び出し、着地 02台車、滑車、つり下げたおもり：張力を求める 03伸び縮みしない糸：滑車系の拘束条件 04加速する摩擦のないくさびの上のブロック 05キャプスタン方程式：杭に巻いたロープの摩擦 06終端速度とハイパボリックタンジェントの法則問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/4

01抗力：流体の抵抗の二つの領域 02ストークスの法則：落下する球の終端速度 03二次抵抗：逆数型の速度の減衰問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/2

01円運動のニュートンの第二法則 02万有引力：月の公転周期を導く 03静止衛星と連星の軌道 04円運動の張力：2つの質量からロープへ 05円錐とターンテーブル上の円運動 06球殻定理：重力は中心からはたらく問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/6

運動量

01力積と運動量：積分形のニュートンの第二法則 02系の境界の引き方：外力だけが効く理由 03質量中心：2つの粒子から連続な棒まで 04質量中心の運動と運動量保存則 05運動量の問題の立て方：系、軸、図 06空中で爆発する投射体：大きい破片はどこに落ちるか 07非弾性衝突のあとの摩擦：飛行機と砂袋問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

01基準系とガリレイ変換 02相対速度の例題：円と台車 03ファインマン、チャレンジャー号、カーブフィットの限界 04質量が流れるときの運動量：四つの分類 05こぼれる砂と吹き込む穀物：2台の貨車 06ボートと消防ホース：質量も運動量も流れ込む 07ロケット方程式を導く：推力はどこから来るのか 08ロケットの速さ、質量比、そして多段式にする理由問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

仕事と運動エネルギー

01エネルギー保存則：系・境界・外界 02運動エネルギー：速さの二乗から力 × 距離へ 03一定の力がする仕事：正・負・ゼロ 04曲線の下の面積としての仕事と、仕事とエネルギーの関係 05仕事率：平均・瞬間・力 × 速度問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/2

01スカラー積：力と変位の内積としての仕事 02任意の曲がった経路に沿った線積分としての仕事 03逆二乗の力、三次元の仕事とエネルギーの関係、仕事率 04換算質量と二体系の内部の仕事問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/1

エネルギー保存と衝突

01保存力：重力の仕事はなぜ経路によらないのか 02閉じた経路の定理：保存力はなぜエネルギーを返すのか 03ニュートンの第三法則からポテンシャルエネルギーを定義する 041つの手順から3つのポテンシャルエネルギー：ゼロ点をどこに置くか問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/1

01力学的エネルギー保存則：閉じた系と保存力 02ばねのエネルギー図：転回点と禁止された領域 03三次のエネルギー図で見る安定なつり合いと不安定なつり合い 04非保存力：力学的エネルギーが保存されないとき 05散逸と系の境界：摩擦のエネルギーの行き先問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/2

01脱出速度：小惑星トロと全エネルギーゼロ 02宙返りループ：エネルギーとニュートンの第二法則を組み合わせる 03距離とともに強まる摩擦：エネルギーの積分 04摩擦のある斜面でのばねの最大の縮み 05球面を滑り落ちる：接触が失われる角度問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/2

01相対速度、換算質量、重心系 02反発係数と一次元の弾性衝突 03重心系で見ると弾性衝突は反転する 04重ねたスーパーボール：小さいボールが9倍の高さまで上がるわけ 05実験室系での二次元の弾性衝突 06質量が等しいときの直角の関係：内積を使って 07重心系の散乱角から実験室系の散乱角へ問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/6

回転とトルク

01剛体と固定軸のまわりの回転 02角速度と角加速度の符号：速くなるか遅くなるか 03回転の運動エネルギーと慣性モーメント 04一様な円板と平行軸の定理 05質量のある滑車とエネルギー保存 06棒と円板の振り子：最下点での速さ 07平行軸の定理の証明問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/3

01点のまわりのトルク：モーメントアームと符号の約束 02成分で求めるトルク：傾いたてことつま先立ちの足首 03τ = Iα を導く：回転のニュートンの第二法則 04重心と、質量のある滑車での張力の違い 05二つの段階から回転子の慣性モーメントを測る問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/1

01角度にわたって作用するトルク：回転の仕事と仕事率 02静的つり合いとてこの原理 03一般化したてこの原理：斜めにはたらく力 04ヒンジで留めた棒と坂道に立つ人 05膝関節と任意の点のまわりのトルク問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/2

角運動量と転がり

01質点の角運動量：r × p 022つの点のまわりの円運動：角運動量の円錐 03トルクが角運動量を変える：地球をかすめる流星体 04質点系：効くのは外部トルクだけ 05固定軸のまわりの回転：L_z = Iω となる理由 06支点のまわりの角運動量保存：物体に打たれる棒 07角力積：落としたワッシャー問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/5

01すべらずに転がる運動：接触点が静止しているわけ 02転がる車輪のビーズ：円と直線でサイクロイドになる 03転がりの拘束条件：斜面、ヨーヨー、ほどける二つのドラム 04軌道角運動量とスピン角運動量：太陽のまわりの地球 05転がる物体の運動エネルギーとシャールの定理問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/3

01質量中心のまわりのトルク：軌道とスピンの方程式 02一押しで二つの運動：剛体の仕事とエネルギーの関係、角力積 03カーブを曲がる列車での垂直抗力：外側の足が強く押すわけ 04落ちるヨーヨー：張力、加速度、最後の回転 05斜面を転がる運動を三通りで：力、エネルギー、トルク 06すべりから転がりへ：ボウリングのボールが初速の7分の5になるわけ 07氷上でパックがスティックに衝突：どの点のまわりでも同じ回転問題セット0/10 問題セット20/10 MIT 問題セット0/2

つり下げたロープの張力：二つの解き方

つり下げたロープの張力が天井で最も大きく、自由端でゼロになるのはなぜでしょうか。そして、1つの微分方程式がそれをどう証明するのでしょうか。

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まとめノート

1. 部分に分ける方法で $T(y) = Mg(1 - y/L)$ を導く
  ロープ全体から $T(0) = Mg$ を求め、次に質量 $(M/L)y$ の上の部分のつり合いを考え、自由端での値 $T(L) = 0$ を確かめましょう。
2. 微小部分と $\frac{dT}{dy} = -(M/L)g$
  $y$ と $y + \Delta y$ のあいだにある質量 $\Delta m = (M/L)\Delta y$ の微小部分に第二法則を当てはめ、極限 $\Delta y \to 0$ をとりましょう。
3. 連続体のロープでの変数分離
  $dT = -(M/L)g\,dy$ と書き直し、ダミー変数を $T(0)$ から $T(y)$ まで、 $0$ から $y$ まで積分して、 $T(0) = Mg$ を代入しましょう。
2回中1回目